Pecahan,Perbandingan,

Pecahan
Pengertian bilangan pecahan
Untuk memahami apa sebenarnya pengertian dari bilangan pecahan itu, kita ilustrasikan sebaagai berikut:
Sebuah cermin dapat jatuh dan akan pecah berkeping-keping. Bagian-bagian kepingan pecahan cermin tersebut tentunya memiliki ukuran yang lebih kecil dari ukuran sebelumnya ketika cermin tersebut masih utuh. Akan tetapi jika keseleuruhan pecahan cermin tersebut digabungkan kembali maka pecahan-pecahan cermin tersebut akan membentuk cermin yang utuh kembali. Nah, berdasarkan ilustrasi tersebut tentunya sahabat sudah mendapat gambaran tentang apakah pecahan itu?

Pecahan dapat kita artikan sebagai bagian dari keseluruhan. Dalam ilmu matematika, pacahan adalah bentuk bilangan yang disajikan dalam bentuk a/b, dengan a, b merupakan bilangan bulat dan a bukan kelipatan dari b, serta b ≠ 0. Dalam pecahan juga kita mengenal pembilang dan penyebut, a/b, dimana a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.

Jenis-jenis pecahan
- Pecahan biasa, contohnya 1/2, -12/24, 5/7
- pecahan campuran, contohnya 2 4/9, 2 1/2
- pecahan desimal, contohnya 0,02; 2,50
- persen, contohnya 5%, 25%, 2 4/5%
- permil, contohnya 5‰, 14‰, 25‰

Pecahan senilai
Pecahan senilai merupakan bentuk pecahan yang nilainya sama, walaupun pembilang dan penyebutnya berbeda. Pecahan senilai dapat kita peroleh dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.

a/b = a x m/b xm
atau
a/b = a : m/b : m

Cara menyederhanakan pecahan
Suatu bentu pecahan dapat kita sederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebut pecahan tersebut.

Cara membandingkan dua pecahan
Untuk menegatahui hubungan antara dua pecahan, yang sahabat lakukan adalah dengan terlebih daulu menyamakan penyebutnya dengan cara mencari kelipatan perseketuan terkecil (KPK) dari kedua penyebut pecahan tersebut.

Pecahan campuran
Pecahan campuran merupakan bentuk pecahan yang dapat diubah menjadi bilangan yang terdiri dari bilanagn bulat dan bilangan pecahan itu sendiri. Pecahn campuran juga dapat diubah menjadi pecahan biasa, caranya:
a b/c = (a x c) + b/c

Untuk lebih jelasnya, sahabat bisa mempelajari contoh-contoh di bawah ini:
Menenuntukan pecahan senilai.
3/4 = 3 x 2/4 x 2 = 6/8 atau 3 x 5/4 x 5 = 15/20, jadi 3/4 = 6/8 = 15/20
32/40 = 32 : 2/40 : 2 = 16/20 atau 32 : 4/40 : 4 = 8/10, jadi 32/40 = 16/20 = 8/10

Menyederhanakan pecahan
28/42 = 28 : 14/42 : 14 = 2/3 (FPB dari 28 dan 42 = 14)

Menyatakan pecahan biasa kedalam bentuk pecahan campuran
45/30 = 30/30 + 15/30 = 1 15/30 = 1 1/2

Merubah pecahan campuran kedalam pecahan biasa
4 7/9 = (4 x 9) + 7/9 = 36 + 7/9 = 43/9\


Rumus dan Contoh Soal Perbandingan

Perbandingan ialah upaya yang dilakukan untuk membandingkan antara dua hal atau lebih, baik dalam bentuk jumlah maupun ukuran. Perbandingan tersebut merupakn nilai pecahan yang disederhanakan. Maka dari itu nilai perbandingan dapat diibaratkan antara a dan b atau x dan y. Dalam rumus perbandingan senilai maupun berbalik nilai dapat diselesaikan dengan cara aritmatika. Berikut penjelasan rumus perbandingan senilai dan berbalik nilai beserta contoh soal perbandingannya.

Rumus Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai ialah upaya membandingkan dua objek atau lebih dengan besar salah satu nilai variabel yang bertambah maka membuat variabel lain menjadi bertambah juga. Maka dari itu perbandingan senilai mempunyai jumlah nilai variabel yang sama. Misalnya jumlah barang yang dibeli dengan jumlah harga barang, jumlah nilai tabungan dengan waktu menyimpan, jumlah pekerja dengan gaji pekerja, dan sebagainya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak rumus perbandingan senilai dibawah ini:

Berdasarkan rumus perbandingan diatas dapat disimpulkan bahwa nilai a1 sama dengan nilai b1 dan nilai a2 sama dengan nilai b2. 

Perbandingan Berbalik Nilai

Selanjutnya terdapat rumus perbandingan berbalik nilai. Perbandingan berbalik nilah ialah upaya membandingkan dua objek atau lebih dengan besar nilai salah satu variabel yang bertambah maka membuat variabel lain menjadi berkurang nilainya. Contohnya jumlah hewan dengan waktu makanan habis, jumlah pekerja dengan waktu menyelesaikan pekerjaan dan sebagainya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak rumus perbandingan berbalik nilai dibawah ini:

Berdasarkan rumus perbandingan diatas dapat disimpulkan bahwa nilai a1 berbalik nilai dengan b2 dan nilai a2 berbalik nilai dengan b1. 

Contoh Soal Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

Setelah membahas mengenai rumus perbandingan, selanjutnya saya akan membahas mengenai contoh soal perbandingan. Berikut contoh soal dan pembahasannya : 

1. Pembuatan kolam dilakukan oleh 8 pekerja dengan gaji seluruh pekerja sebesar Rp 200.000. Namun pemilik kolam ingin mempercepat pembuatan maka dari itu menambahkan 4 orang lagi. Berapa jumlah gaji tambahannya ?

Jawab :

Diketahui : a1 = 8; b1 = 200.000; a2 = 4

Ditanya : b2 = ?

Maka nilai b2 

      a1/b1  = a2/b2 (Lihat rumus perbandingan senilai)

8/200.000 = 4/b2 (Lakukan pengalian nilai secara menyilang)

      8 x b2 = 200.000 x 4

            b2 = 800.000/8

            b2 = 100.000

Jadi jumlah gaji tambahannya sebesar Rp 100.000

2. Dipasar tradisional terdapat apel 8 kg dengan harga 40.000. Maka berapakah harga 10 kg apel?

Jawab :

Diketahui : a1 = 8; b1 = 40.000; a2 = 10

Ditanya : b2 = ?

Maka nilai b2 

    a1/b1  = a2/b2 (Lihat rumus perbandingan senilai)

8/40.000 = 10/b2 (Lakukan pengalian nilai secara menyilang)

    8 x b2 = 10 x 40.000

          b2 = 400.000/8

          b2 = 50.000

Jadi harga 10 kg apel ialah Rp 50.000,-

3. Pembangunan rumah dilakukan oleh 6 pekerja dengan waktu penyelesaikan selama 20 hari. Apabila jumlah pekerjanya menjadi 8 orang maka membutuhkan waktu berapa hari agar rumah tersebut dapat selesai ?
Jawab :

Diketahui : a1 = 6; b1 = 20; a2 = 8

Ditanya : b2 = ?

Maka nilai b2 

a1/b2  = a2/b1 (Lihat rumus perbandingan berbalik nilai)

   6/b2 = 8/ 20 (Lakukan pengalian nilai secara menyilang)

6 x 20 = 8 x b2

      b2 = 120/8

      b2 = 15

Jadi pekerja tersebut membutuhkan waktu selama 15 hari.

4. Sebuah pabrik sepatu memiliki mesin pembuat sepatu. 5 mesin memiliki waktu  pembuatan 8 hari. Apabila mesin yang digunakan berjumlah 10. Berapakah waktu yang diperlukan untuk membuat sepatu?

Jawab :

Diketahui : a1 = 5; b1 = 8; a2 = 10

Ditanya : b2 = ?

Maka nilai b2 

a1/b2  = a2/b1 (Lihat rumus perbandingan berbalik nilai)

   5/b2 = 10/8 (Lakukan pengalian nilai secara menyilang)

  5 x 8 = 10 x b2

      b2 = 40/10

      b2 = 4

1. Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan Biasa

Proses  pengerjaan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa hampir sama, oleh karena itu disini sengaja saya buat menjadi satu pokok bahasan.

Langkah pertama, kita perhatikan dulu semua penyebut dari masing-masing  bilangan pecahan yang akan kita kerjakan, apakah sama atau berbeda :

a. Bila  semua penyebut sama, maka kita tinggal mengerjakan operasi penjumlahan atau pengurangan pembilangnya saja, sedangkan penyebutnya ditulis sama dengan semua penyebut pada soal (yang semuanya sudah sama tersebut),

contoh :


Penjumlahan

Pengurangan

bila penyebut sama, hanya menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya saja
sedang penyebut tetap sama

b. Bila penyebut tidak sama, maka harus menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Caranya dengan mengganti semua penyebut dengan satu bilangan yang sama, yaitu KPK dari semua penyebut pada soal.

Agar masing masing pecahan nilainya tetap walaupun penyebutnya  sudah diganti, maka pembilangnya juga harus diganti dengan nilai yang sesuai, cara menentukan nilai Pembilang Baru adalah  : penyebut baru (KPK) dibagi penyebut asal (soal), kemudian dikalikan dengan pembilang asal.

Contoh  :

Penjumlahan

Pengurangan

2. Perkalian Pecahan Biasa

Pada Operasi hitung Pecahan Biasa, Operasi hitung perkalian jauh lebih mudah daripada pengerjaan operasi  penjumlahan atau pengurangan, karena pada perkalian tidak perlu menyamakan penyebut.  PENYEBUT BEDA ATAU SAMA - TIDAK PERLU DI UBAH UBAH - LANGSUNG HITUNG SAJA  - Caranya sangat efisien, yaitu :

PEMBILANG x PEMBILANG = PEMBILANG

PENYEBUT x PENYEBUT = PENYEBUT

===============

Contoh yang lebih besar misalnya :

Ternyata hasil dari contoh itu masih harus disederhanakan dengan cara : pembilang dan penyebutnya dibagi dengan FPB dari keduanya, FPB dari 90 dan 180 adalah 90, jadi baik 90 maupun 180 sama sama dibagi 90 dengan hasil 1 dan 2, sbb:

atau dengan cara bagi dengan FPB pada langkah langkah awal, seperti ini :

Dengan cara menyederhanakan di akhir maupun menyedeerhanakan di awal langkah hasilnya tetap sama :

3. Pembagian Pecahan Biasa

Operasi hitung pembagian pecahan biasa pada akhirnya  akan sama dengan operasi perkalian pecahan biasa, tidak perlu menyamakan penyebut.  PENYEBUT BEDA ATAU SAMA - TIDAK PERLU DI UBAH UBAH - LANGSUNG HITUNG SAJA .

Hanya saja harus ada sedikit awalan yang mesti dilalui. Karena pada hakekatnya pembagian merupakan kebalikan dari perkalian, maka kita balik saja pembagian itu menjadi perkalian, dengan syarat pecahan pembagi juga harus dibalik antara pembilang dan penyebutnya, perhatikan contoh berikut :

Untuk Operasi hitung Pembagian pecahan biasa pada tingkatan peserta didik yang lebih tinggi biasanya cukup menggunakan istilah sebagai berikut :

Pembilang kali penyebut = pembilang

Penyebut kali pembilang = penyebut

Untuk operasi hitung tiga bilangan atau lebih juga sama saja :

1. Penjumlahan :

2. Pengurangan :

3. Perkalian :

4 Pembagian :

Jadi waktu yang dibutuhkan selama 4 hari.

5. Suatu rumah dibangun dalam waktu 20 hari dengan jumlah pekerja 8 orang. Apabila pemilik rumah tersebut ingin mempercepat waktunya menjadi 16 hari. Berapakah jumlah pekerja yang harus ditambah ?

Jawab :

Diketahui : a1 = 20; b1 = 8; a2 = 16

Ditanya : b2 = ?

Maka nilai b2 

a1/b2  = a2/b1 (Lihat rumus perbandingan berbalik nilai)

   20/b2 =  16/8 (Lakukan pengalian nilai secara menyilang)

  20 x 8 = 16 x b2

        b2 = 160/16

        b2 = 10

Jadi pekerjanya harus ditambah sebanyak 10 orang.